25210004 - Matrices et applications

Ce cours a pour objectif de former l'étudiant au calcul matriciel et l'algèbre linéaire. La première moitié du semestre est consacrée au calcul matriciel à la maîtrise de notions d'algèbre linéaire essentielles ; la diagonalisation de matrices en est l'objectif principal. La seconde partie du semestre traite des applications de calculs matriciels et de la diagonalisation : résolution de systèmes récurrents ou systèmes différentiels, chaine de Markov, analyse de réseau sociaux via les matrices. Enfin, le cours se termine par une introduction, via un point de vue matriciel, à l'analyse en composantes principales qui est une notion clef d'analyse des données faisant ainsi le lien avec le cours d'analyse de données du semestre 6 de la licence TQM.

CONNAISSANCES A ACQUERIR

• Effectuer des opérations sur les matrices : produit, déterminant, inversion
• Calculer les valeurs propres et vecteurs propres de matrices

COMPETENCES CIBLES

• Modéliser et résoudre des problèmes avec les outils matriciels
• Analyser des données avec les outils matriciels
• Maîtriser un logiciel de calcul mathématique

Chapitre 1. Calcul matriciel

Partie A : Calculs élémentaires
I - Matrices : définitions et notation
II - Addition, multiplication
III - Opérations élémentaires et échelonnage
IV - Déterminants
V - Inversion
VI - Systèmes

Partie B : Premières applications
I - Modèles économiques de Léontieff
II - Gestion d'un portefeuille financier

Chapitre 2. Fondamentaux de l'algèbre linéaire

I - Espaces vectoriels
II - Familles libres, génératices, bases

Chapitre 3. Image et noyau d’une matrice

I- Image et rang d'une matrice
II - Noyau d'une matrice
III - Théorème du rang
IV - Résolution de systèmes

Chapitre 4. Diagonalisation
I - Introduction
II - Vecteurs propres et valeurs propres
III - Critères de diagonalisabilité
IV - Méthode pratique

Chapitre 5. Puissance et exponentielle de matrice
I - Définitions et calculs
II - Applications

Chapitre 6. Chaines de Markov
I- Rappels de probabilités
II- Chaines de Markov homogènes
III - Matrices de transitions
IV - Distribution stationnaire

Chapitre 7. Théorie des graphes et analyse de réseau

I - Théorie algébrique de graphes
II - Caractéristiques des réseaux sociaux
III - Centralités
IV - Communautés

Chapitre 8. Analyse en composantes principales
I - Réduction de la dimension
II - Mise en oeuvre et interprétation

OUVRAGES COMPLEMENTAIRES :

• Manuels de cours (avec quelques exercices) :
• Jean-Louis Monino, Mathématiques appliquées aux sciences sociales : algèbre matricielle, édition Foucher.
• Alain PLANCHE, Mathématiques pour économistes, Algèbre, édition Dunod. Chapitre 5 et paragraphes I et II du chapitre 8.
• Bernard GUERRIEN, Algèbre linéaire pour économistes, édition Economica. Chapitres I à III, V à XII et XIX.
• Naïla HAYEK, Jean-Pierre LECA, Mathématiques pour l'économie, édition Dunod. Chapitre 7 et paragraphes I et II du chapitre 9.
• Gégard KLOTZ, Mathématiques pour les sciences économiques et sociales, Algèbre 2, Presses Universitaires de France. Chapitres I, IV et VII.

Manuels d'exercices :

• J.P. LECOUTRE et P. PILIBOSSIAN, Algèbre, mathématiques pour les sciences économiques.
• Exercices corrigés avec rappels de cours. Chapitres 3, 4 et 5.
• Dominique PROCHASSON, Algèbre 1e année, exercices corrigés, édition Dunod. Chapitres 5 et 6.
• Alain PILLIER, Algèbre linéaire pour économistes, manuel d'exercices corrigés, éditions Premium.

Manuels de fiches méthodes :

• Philippe FORTIN et Roland POMÈS, Méthodes mathématiques Algèbre/ Analyse/Proba, édition Viubert. Chapitre III et IV
• Xavier MERLIN, MethodiX Algèbre, édition Ellipses. Chapitres 3 et 8.
• Abdelaziz AL KAABOUCHi et Drissia ESSAYED, Le succès en algèbre en fiches méthodes, édition Ellipses. Chapitre 5.

Examen Terminal
Ecrit, 3h

Contrôle continu
Interrogation écrite, 1h40
Notation pendant les enseignements