25210004 - Matrices et applications

Niveau de diplôme Licence - Semestre 5
Crédits ECTS 6
Volume horaire total 36
Volume horaire CM 24
Volume horaire TD 12

Responsables

Objectifs

Ce cours a pour objectif de former l'étudiant au calcul matriciel et l'algèbre linéaire. La première moitié du semestre est consacrée au calcul matriciel à la maîtrise de notions d'algèbre linéaire essentielles ; la diagonalisation de matrices en est l'objectif principal. La seconde partie du semestre traite des applications de calculs matriciels et de la diagonalisation comme les chaines de Markov ou l’analyse de réseau sociaux via les matrices.

CONNAISSANCES ET COMPETENCES CIBLES
  • Effectuer des opérations sur les matrices : produit, déterminant, inversion
  • Calculer les valeurs propres et vecteurs propres de matrices
  • Modéliser et résoudre des problèmes avec les outils matriciels

Contenu

Chapitre 0 : Matrices : calculs élémentaires
    I – Matrices particulières
    II – Addition et multiplication
    III – Echelonnage

Chapitre 1 : Déterminant et inversion
    I – Déterminants
    II – Inversion de matrices
    III – Propriétés

Chapitre 2 : Premières applications
            I - Modèles économiques de Léontieff
            II – Rentabilité et volatilité d'un portefeuille financier
        
Chapitre 3 : Fondamentaux de l'algèbre linéaire
       I - Espaces vectoriels
      II - Familles libres, génératices, bases

Chapitre 4 : Image et noyau d’une matrice
    I- Image et rang d'une matrice
     II - Noyau d'une matrice
     III - Théorème du rang

Chapitre 5 : Résolution de systèmes
    I – Systèmes de Cramer
    II – Nombre de solutions d’un système
    III – Résolution d’un système

Chapitre 6 : Diagonalisation
     I - Introduction
     II - Vecteurs propres et valeurs propres
     III - Critères de diagonalisabilité
     IV - Méthode pratique

Chapitre 7 : Chaines de Markov
     I- Rappels de probabilités
    II- Chaines de Markov homogènes
    III - Matrices de transitions
     IV - Distribution stationnaire

Chapitre 8 : Théorie des graphes et analyse de réseau
      I - Théorie algébrique de graphes
    II - Caractéristiques des réseaux sociaux
    III - Centralités
    IV - Communautés

Bibliographie

OUVRAGES COMPLEMENTAIRES :

Manuels de cours (avec quelques exercices) :
  1. Jean-Louis Monino, Mathématiques appliquées aux sciences sociales : algèbre matricielle, édition Foucher.
  2. Alain PLANCHE, Mathématiques pour économistes, Algèbre, édition Dunod. Chapitre 5 et paragraphes I et II du chapitre 8.
  3. Bernard GUERRIEN, Algèbre linéaire pour économistes, édition Economica. Chapitres I à III, V à XII et XIX.
  4. Naïla HAYEK, Jean-Pierre LECA, Mathématiques pour l'économie, édition Dunod. Chapitre 7 et paragraphes I et II du chapitre 9.
  5. Gégard KLOTZ, Mathématiques pour les sciences économiques et sociales, Algèbre 2, Presses Universitaires de France. Chapitres I, IV et VII.

Manuels d'exercices :
  1. J.P. LECOUTRE et P. PILIBOSSIAN, Algèbre, mathématiques pour les sciences économiques. Exercices corrigés avec rappels de cours. Chapitres 3, 4 et 5.
  2. Dominique PROCHASSON, Algèbre 1e année, exercices corrigés, édition Dunod. Chapitres 5 et 6.
  3. Alain PILLIER, Algèbre linéaire pour économistes, manuel d'exercices corrigés, éditions Premium.

Manuels de fiches méthodes :
  1. Philippe FORTIN et Roland POMÈS, Méthodes mathématiques Algèbre/ Analyse/Proba, édition Viubert. Chapitre III et IV
  2. Xavier MERLIN, MethodiX Algèbre, édition Ellipses. Chapitres 3 et 8.
  3. Abdelaziz AL KAABOUCHi et Drissia ESSAYED, Le succès en algèbre en fiches méthodes, édition Ellipses. Chapitre 5.

Contrôles des connaissances

Note individuelle
Ecrit, 3h
Nature de l'épreuve : Epreuve écrite de fin de semestre individuelle sur table anonyme sans documents.

Autres notations
Interrogation écrite : épreuve individuelle de mi-semestre, durée 1h40
En groupe : Oui (devoir maison)
Notation pendant les enseignements : Interrogation écrite individuelle de 30 minutes

Pondération :
Epreuve écrite de fin de semestre : 50%
Epreuve écrite intermédiaire de mi-semestre : 30%
Devoir maison : 15%
QCM : 5%

Informations complémentaires

PRE-REQUIS EN TERMES DE CONNAISSANCES ET COMPETENCES
Capacité au raisonnement et à l’abstraction
Appétence pour les techniques quantitatives et le calcul