25220001 - Mathématiques : modèles dynamiques

Crédits ECTS 6
Volume horaire total 39
Volume horaire CM 24
Volume horaire TD 15

Objectifs

Dans ce cours nous nous intéressons aux mathématiques se cachant derrière les modèles économiques dans lesquels les grandeurs évoluent en fonction du temps : les modèles dynamiques. Ces modèles se divisent en deux grandes catégories : ceux à temps discret et ceux à temps continu. Chacun conduit à la résolution d’équations d’un type particulier : les équations de récurrence dans le cas discret, les équations différentielles dans le cas continu. Nous verrons comment résoudre ces équations, ou du moins - lorsque la résolution explicite est impossible - comment prédire le comportement des solutions vis-à-vis de l’état d’équilibre. Outre leur application en économie, les modèles dynamiques sont utilisés dans des domaines aussi variés que la biologie, la mécanique céleste ou encore l’électronique.

CONNAISSANCES A ACQUERIR
  • Notion d’équation de récurrence (resp. différentielle) et méthodes de résolution.
  • Notion de convergence d’une suite.
  • Notion d’état d’équilibre et de stabilité.
  • Notion d’espace vectoriel.
  • Notion de nombres complexes
  • Quelques théorèmes classiques d’analyse.

COMPETENCES CIBLES
  • Savoir résoudre une équation de récurrence (resp. différentielle) linéaire et certains cas particuliers d’équations non linéaires.
  • Savoir interpréter la solution en terme de comportement : type de variations et convergence éventuelle vers l’état d’équilibre.
  • Savoir discuter du comportement de la solution en fonction des valeurs des paramètres du modèle, sans calculer explicitement la solution.

Contenu

1ère Partie : modèles à temps discret

Chap. 1 : Modèles discrets linéaires d’ordre 1
  • Résolution et comportement
  • Applications économiques : Cobweb, tâtonnement de Walras, multiplicateur dynamique.

Chap. 2 : Modèles discrets linéaires d’ordre 2
  • Notion d’espace vectoriel
  • Nombres complexes
  • Résolution et comportement asymptotique
  • Etude du comportement sans calcul explicite des racines.
  • Applications économiques : modèles de Samuelson, de Hicks

Chap. 3 : Modèles discrets non linéaire
  • Monotonie et convergence
  • Point fixe et dérivée
  • Notion de cycle
  • Applications : l’équation logistique, modèle de croissance de Solow discret

2ème Partie : modèles à temps continu

Chap. 5 : Modèles continus linéaires
  • Théorème d’existence et d’unicité
  • Équations différentielles linéaires d’ordre 1
  • Equation différentielles linéaires d’ordre 2
  • Comportement asymptotique
  • Applications économiques : Cobweb, tâtonnement, Samuelson

Chap. 6 : Modèles continus non linéaires
  • Théorème de Cauchy-Lipschitz
  • Cas particulier : résolution d’une équation de Bernoulli
  • Equilibre et stabilité
  • Applications économiques : modèle de croissance de Solow continu

Bibliographie

OUVRAGES DE REFERENCE :
  • Pascle DAMERON : ``Mathématiques des modèles économiques''
  • Marie-Claire BARTHELEMY : ``Cours de mathématiques pour économistes : algèbre linéaire et systèmes dynamiques''
  • Gabriel ARCHINARD et Bernard GUERRIEN : "Analyse mathématique pour économistes : cours et exercices corrigés"

OUVRAGES COMPLEMENTAIRES :
  • Sophie JALLAIS : ``Mathématiques des modèles dynamiques pour économistes''
  • Jean-Louis PAC : "Systèmes dynamiques : cours et exercices corrigés"
  • Philippe MICHEL : ``Cours de mathématiques pour économistes''
  • Jean-Marie LE PAGE : ``Croissance & cycle''

Contrôles des connaissances

Examen Terminal
Nature de l'épreuve : Ecrit (3h)

Contrôle continu
Interrogation écrite (1h)
Notation pendant les enseignements

Informations complémentaires

MODALITES PEDAGOGIQUES / NATURE DES SUPPORTS
Transparents de cours et recueil d’exercices de TD.

PRE-REQUIS EN TERMES DE CONNAISSANCES
Cours de Mathématiques de 1ère année : calculs algébriques, suites numériques, fonctions, dérivation, limites, intégration d’une fonction.