25220001 - Mathématiques : modèles dynamiques

Dans ce cours nous nous intéressons aux mathématiques se cachant derrière les modèles économiques dans lesquels les grandeurs évoluent en fonction du temps : les modèles dynamiques. Ces modèles se divisent en deux grandes catégories : ceux à temps discret et ceux à temps continu. Chacun conduit à la résolution d’équations d’un type particulier : les équations de récurrence dans le cas discret, les équations différentielles dans le cas continu. Nous verrons comment résoudre ces équations, ou du moins - lorsque la résolution explicite est impossible - comment prédire le comportement des solutions vis-à-vis de l’état d’équilibre. Outre leur application en économie, les modèles dynamiques sont utilisés dans des domaines aussi variés que la biologie, la mécanique céleste ou encore l’électronique.

CONNAISSANCES A ACQUERIR

• Notion d’équation de récurrence (resp. différentielle) et méthodes de résolution.
• Notion de convergence d’une suite.
• Notion d’état d’équilibre et de stabilité.
• Notion d’espace vectoriel.
• Notion de nombres complexes
• Quelques théorèmes classiques d’analyse.

COMPETENCES CIBLES

• Savoir résoudre une équation de récurrence (resp. différentielle) linéaire et certains cas particuliers d’équations non linéaires.
• Savoir interpréter la solution en terme de comportement : type de variations et convergence éventuelle vers l’état d’équilibre.
• Savoir discuter du comportement de la solution en fonction des valeurs des paramètres du modèle, sans calculer explicitement la solution.

1ère Partie : modèles à temps discret

Chap. 1 : Modèles discrets linéaires d’ordre 1

• Résolution et comportement
• Applications économiques : Cobweb, tâtonnement de Walras, multiplicateur dynamique.

Chap. 2 : Modèles discrets linéaires d’ordre 2

• Notion d’espace vectoriel
• Nombres complexes
• Résolution et comportement asymptotique
• Etude du comportement sans calcul explicite des racines.
• Applications économiques : modèles de Samuelson, de Hicks

Chap. 3 : Modèles discrets non linéaire

• Monotonie et convergence
• Point fixe et dérivée
• Notion de cycle
• Applications : l’équation logistique, modèle de croissance de Solow discret

2ème Partie : modèles à temps continu

Chap. 5 : Modèles continus linéaires

• Théorème d’existence et d’unicité
• Équations différentielles linéaires d’ordre 1
• Equation différentielles linéaires d’ordre 2
• Comportement asymptotique
• Applications économiques : Cobweb, tâtonnement, Samuelson

Chap. 6 : Modèles continus non linéaires

• Théorème de Cauchy-Lipschitz
• Cas particulier : résolution d’une équation de Bernoulli
• Equilibre et stabilité
• Applications économiques : modèle de croissance de Solow continu

Examen Terminal
Nature de l'épreuve : Ecrit (3h)

Contrôle continu
Interrogation écrite (1h)
Notation pendant les enseignements

MODALITES PEDAGOGIQUES / NATURE DES SUPPORTS
Transparents de cours et recueil d’exercices de TD.

PRE-REQUIS EN TERMES DE CONNAISSANCES
Cours de Mathématiques de 1ère année : calculs algébriques, suites numériques, fonctions, dérivation, limites, intégration d’une fonction.