25210007 - Matrices et applications

Ce cours a pour objectif de former l'étudiant au calcul matriciel et l'algèbre linéaire. Le début du semestre est consacré au calcul matriciel à la maîtrise de notions d'algèbre linéaire essentielles. Ensuite on utilise les matrices et l’algèbre pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et des problèmes d’optimisation linéaire. Enfin on aborde la diagonalisation de matrices qui est un concept essentiel. Enfin on traite des applications de la diagonalisation de matrices comme les chaines de Markov ou l’analyse de réseau sociaux via les matrices. 

Estimation du temps de travail personnel (en dehors des cours) : 60 heures

CONNAISSANCES ET COMPETENCES CIBLES

Effectuer des opérations sur les matrices : produit, déterminant, inversion
Calculer les valeurs propres et vecteurs propres de matrices
Modéliser et résoudre des problèmes avec les outils matriciels

PLAN DE COURS

Chapitre 0 : Matrices : calculs élémentaires
I – Matrices particulières
II – Addition et multiplication
III – Echelonnage

Chapitre 1 : Déterminant et inversion
I – Déterminants
II – Inversion de matrices
III – Propriétés

Chapitre 2 : Premières applications
I – Modèles économiques de Leontief
II – Rentabilité et volatilité d'un portefeuille financier
        
Chapitre 3 : Fondamentaux de l'algèbre linéaire
I – Espaces vectoriels
II – Familles libres, génératrices, bases

Chapitre 4 : Image et noyau d’une matrice
I – Image et rang d'une matrice
II – Noyau d'une matrice
III – Théorème du rang

Chapitre 5 : Résolution de systèmes
I – Systèmes de Cramer
II – Nombre de solutions d’un système
III – Résolution d’un système

Chapitre 6 : Optimisation linéaire
I – Ecriture matricielle d’un problème d’optimisation linéaire
II – Résolution d’un problème d’optimisation linéaire

Chapitre 7 : Diagonalisation
I – Introduction
II – Vecteurs propres et valeurs propres
III – Critères de diagonalisabilité
IV – Méthode pratique

Chapitre 8 : Chaines de Markov
I – Rappels de probabilités
II – Chaines de Markov homogènes
III – Matrice de transition
IV – Distribution stationnaire

Chapitre 9 : Théorie des graphes et analyse de réseaux
I – Théorie algébrique de graphes
II – Analyse de réseaux par des outils matriciels

OUVRAGES ET PUBLICATIONS COMPLEMENTAIRES :

Manuels de cours (avec quelques exercices) : 

• Jean-Louis Monino, Mathématiques appliquées aux sciences sociales : algèbre matricielle, édition Foucher.
• Alain PLANCHE, Mathématiques pour économistes, Algèbre, édition Dunod. Chapitre 5 et paragraphes I et II du chapitre 8.
• Bernard GUERRIEN, Algèbre linéaire pour économistes, édition Economica. Chapitres I à III, V à XII et XIX.
• Naïla HAYEK, Jean-Pierre LECA, Mathématiques pour l'économie, édition Dunod. Chapitre 7 et paragraphes I et II du chapitre 9.
• Gérard KLOTZ, Mathématiques pour les sciences économiques et sociales, Algèbre 2, Presses Universitaires de France. Chapitres I, IV et VII.

Manuels d'exercices :

• J.P. LECOUTRE et P. PILIBOSSIAN, Algèbre, mathématiques pour les sciences économiques. Exercices corrigés avec rappels de cours. Chapitres 3, 4 et 5.
• Dominique PROCHASSON, Algèbre 1e année, exercices corrigés, édition Dunod. Chapitres 5 et 6.
• Alain PILLIER, Algèbre linéaire pour économistes, manuel d'exercices corrigés, éditions Premium.

Manuels de fiches méthodes :

• Philippe FORTIN et Roland POMÈS, Méthodes mathématiques Algèbre/ Analyse/Proba, édition Viubert. Chapitre III et IV
• Xavier MERLIN, MethodiX Algèbre, édition Ellipses. Chapitres 3 et 8.
• Abdelaziz AL KAABOUCHi et Drissia ESSAYED, Le succès en algèbre en fiches méthodes, édition Ellipses. Chapitre 5.

OUVRAGES ET PUBLICATIONS DES ENSEIGNANTS-CHERCHEURS DE L’IAELYON SUR LE SUJET DU COURS :

Boulet, R. (2023). Solving Linear Systems with Column Reduction. The College Mathematics Journal, 54(2), 104-112.

Note individuelle
Examen de fin de semestre : épreuve individuelle écrite sur table sans document, 3h

Autre(s) notation(s)
Notation pendant les enseignements
Une épreuve de 2h et une épreuve de 45 minutes

Pondération : 
Examen écrit (fin de semestre) de 3h : 50%
Epreuve écrite intermédiaire (mi-semestre) 2h : 35%
Interrogation écrite de 45 minutes : 15%

PRE-REQUIS EN TERMES DE CONNAISSANCES ET COMPETENCES

Capacité au raisonnement et à l’abstraction
Appétence pour les techniques quantitatives et le calcul

RESSOURCE(S) A DISPOSITION :

Plusieurs ressources seront mises à disposition des étudiants sur la plateforme pédagogique Moodle